Este artículo presenta una versión renovada y ampliada de un enfoque para escalar Redes Neuronales Informadas por la Física, conocidas como PINNs, mediante la integración de refinamiento de malla adaptativa y cuantificación de incertidumbre bayesiana. Las PINNs tradicionales muestran limitaciones en problemas de alta dimensionalidad, en geometrías complejas y en escenarios multiprofesionales, además de ser sensibles a condiciones iniciales y a datos ruidosos. La propuesta que describimos aquí optimiza la distribución de puntos de entrenamiento mediante refinamiento local de la malla guiado por el residuo de la ecuación y añade una capa de inferencia bayesiana para cuantificar la incertidumbre en las predicciones, mejorando la precisión y la robustez en una amplia variedad de problemas físicos y de ingeniería.

La idea clave consiste en adaptar dinámicamente la resolución espacial del problema donde sea necesario, refinando la malla en regiones con gradientes o residuos grandes y manteniéndola más gruesa donde la solución es suave. Este hito reduce drásticamente el número de puntos de entrenamiento requeridos y concentra el poder de cómputo donde más aporta. Paralelamente, la cuantificación de incertidumbre bayesiana proporciona intervalos predictivos y medidas de calibración que permiten evaluar la confianza de las soluciones, un requisito indispensable para aplicaciones industriales y de toma de decisiones.

Desde el punto de vista teórico, el mecanismo de refinamiento se basa en estimadores de error a posteriori derivados del residuo de la ecuación diferencial parcial y de las condiciones de contorno. Cuando el residuo local excede un umbral definido por el usuario, la celda o elemento se subdivide y se incorporan nuevos nodos para capturar mejor la dinámica local. En paralelo, se considera un marco bayesiano sobre los pesos de la red neuronal, donde la posterior sobre los pesos se aproxima mediante métodos de inferencia variacional o técnicas de muestreo como MCMC para caracterizar la distribución de posibles soluciones coherentes con la física y con los datos observados.

Metodología práctica. La arquitectura propuesta, a la que denominamos APINNs, combina tres componentes integrados en un ciclo de entrenamiento unificado: 1) refinamiento de malla adaptativa para concentrar resolución en regiones de interés; 2) cuantificación bayesiana de la incertidumbre que introduce regularización informada por el prior y el término de divergencia Kullback-Leibler; 3) un bucle de entrenamiento que actualiza simultáneamente los parámetros de la red y la topología de la malla, mitigando difusión numérica mediante interpolación de alta orden cuando se transfieren soluciones entre mallas de distinta resolución.

Para evaluar el rendimiento de APINNs se realizaron experimentos con problemas de referencia: la ecuación de Burgers para probar convergencia y control de difusión, el problema de Navier-Stokes en torno a un cilindro para validar robustez en flujo con vórtices y la ecuación de calor con convección para estudiar escalabilidad en dimensiones superiores. Las métricas consideradas incluyeron error cuadrático medio, tiempo computacional y medidas de calidad de la cuantificación de incertidumbre como cobertura de intervalos predictivos y calibración.

Resultados destacados. APINNs redujeron el tiempo de entrenamiento en aproximadamente 50% en el caso de Burgers manteniendo la misma precisión que PINNs con una malla diez veces mayor. En la simulación de Navier-Stokes se observó una mayor robustez frente a ruido y errores en las condiciones de contorno, además de intervalos predictivos bien calibrados gracias al componente bayesiano. Estos avances traducen eficiencia en recursos y mayor fiabilidad en entornos reales donde la incertidumbre debe controlarse cuidadosamente.

Escalabilidad y hoja de ruta. A corto plazo se prevé la integración de APINNs con solvers PDE existentes y la exploración de técnicas AMR de orden superior. A medio plazo la prioridad es paralelizar el cómputo para entornos distribuidos y aplicar el método a problemas multiprofesionales acoplados como interacción fluido-estructura. A largo plazo se consideran agentes de aprendizaje por refuerzo para automatizar el refinamiento y la incorporación de técnicas explicables para interpretar el comportamiento físico aprendido por la red.

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Conclusión. La combinación de refinamiento de malla adaptativa y cuantificación de incertidumbre bayesiana eleva significativamente la capacidad de las PINNs para abordar problemas complejos y de alto impacto. APINNs ofrecen un camino hacia simulaciones más eficientes, confiables y directamente útiles en la industria. En Q2BSTUDIO estamos listos para colaborar en la integración de estas técnicas en soluciones a medida, aportando tanto competencias en inteligencia artificial como en desarrollo de software, seguridad y despliegue cloud para maximizar el valor de sus proyectos.