Entendimiento del problema: Dado el conjunto de números 1, 2, 3, ..., n que deben ser introducidos en una pila en ese orden fijo, el objetivo es generar todas las secuencias posibles de salida que se pueden obtener combinando operaciones de push y pop intercaladas. Restricción clave: el orden de push es inmutable, pero el momento de cada pop es flexible.

Idea central: enfoque como árbol de decisiones. En cualquier instante existen exactamente dos opciones válidas: hacer pop si la pila no está vacía o hacer push del siguiente número si todavía quedan elementos por empujar. Cada camino en ese árbol binario representa una secuencia de salida válida.

Definición del estado recursivo: la función recursiva mantiene tres componentes del estado: nextPush que indica el siguiente número a empujar entre 1 y n, stack que representa el contenido actual de la pila y output que recoge los números ya extraídos. La llamada recursiva avanza hasta que output alcanza tamaño n y entonces se registra una secuencia completa.

Decisiones en cada paso: 1) Si la pila no está vacía, probar a hacer pop, añadir el elemento al output y llamar recursivamente; después, deshacer la acción para recuperar el estado anterior. 2) Si quedan números por empujar, hacer push del siguiente valor, llamar recursivamente y luego hacer pop para volver a la situación previa. Ese backtracking garantiza la exploración exhaustiva sin perder la integridad del estado.

Ejemplo paso a paso para n=2. Estado inicial nextPush=1, pila vacía, output vacío. Camino A: push 1, push 2, pop 2, pop 1 produce la salida 2,1. Camino B: push 1, pop 1, push 2, pop 2 produce la salida 1,2. Ambas son generadas por la exploración recursiva con backtracking.

Observaciones clave: el número de secuencias válidas para n coincide con el número de Catalan de orden n. Hay una conexión directa con cadenas de paréntesis balanceadas si se mapea push a paréntesis abierto y pop a paréntesis cerrado. Generar estas secuencias es análogo a recorrer de forma sistemática todos los árboles binarios posibles con n nodos internos.

Pautas prácticas para la implementación: representar la pila con una estructura LIFO, llevar un índice para el próximo elemento a empujar y un vector para la trayectoria actual. Detener la recursión al completar una trayectoria de longitud n. Aplicar siempre restauración del estado tras cada llamada recursiva para permitir la exploración de las alternativas.

Resumen del proceso de pensamiento recursivo: identificar los puntos de decisión, definir claramente el estado que debe conservarse entre llamadas, tratar el caso base de forma explícita, explorar ambas opciones en cada nivel con backtracking y reconocer el patrón combinatorio subyacente. Esta transformación de un problema complejo en un árbol de decisiones demuestra cómo la recursión y el retroceso simplifican la generación exhaustiva de soluciones.

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