Introducción: explicación sencilla de regresión lineal con solo 3 casas. Imagina que tienes tres casas con estas medidas y precios reales. Tamaño x en miles de pies cuadrados y precio y en cientos de miles de euros: casa 1 x=1 y=1.5, casa 2 x=2 y=2.2, casa 3 x=3 y=2.9. Nuestro objetivo: predecir el precio a partir del tamaño con una línea recta.

Modelo de línea recta. Toda predicción lineal toma la forma predicción y = w × x + b donde w es la pendiente o peso y b es el sesgo o intercepto. Queremos encontrar w y b que permitan que la línea se ajuste lo mejor posible a los datos.

Paso 1. Elegir una línea inicial. Por ejemplo supongamos w=0.5 y b=1.0. Las predicciones serían: para x=1 predicción 1.5, para x=2 predicción 2.0, para x=3 predicción 3.0. Comparando con los precios reales vemos errores positivos y negativos.

Cómo medimos lo mal que va la línea. Si sumáramos errores simples se cancelan valores positivos y negativos. Por eso usamos el error cuadrático medio MSE = promedio de (error)². Para la línea inicial los errores al cuadrado son 0, 0.04 y 0.01. El MSE = (0 + 0.04 + 0.01)/3 ≈ 0.0167. Cuanto menor el MSE mejor la línea.

Probar otra línea. Por ejemplo w=0.8 b=0.7 da errores que generan un MSE similar. La idea es buscar los valores de w y b que minimicen el MSE.

Por qué no forzar todas las combinaciones. Buscar por fuerza bruta millones de pares w y b es imposible en datos grandes. En lugar de probar al azar usamos un método matemático eficiente llamado descenso por gradiente que sigue la pendiente del MSE hasta su mínimo.

Intuición del descenso por gradiente. Piensa en el MSE como un paisaje o una superficie en la que cada par de parámetros w y b es un punto y la altura es el error. El objetivo es caminar hacia el punto más bajo. La matemática nos da la dirección exacta que señala bajada más pronunciada, esa dirección es el gradiente.

Qué nos dice el gradiente. En un punto concreto, por ejemplo w=0.5 b=1.0, podemos preguntar qué pasa si aumentamos w en una cantidad pequeña. Si el MSE aumenta moviéndonos en esa dirección, entonces debemos disminuir w. Hacemos la misma comprobación para b. El gradiente nos da los signos y magnitudes aproximadas que necesitamos para actualizar w y b.

Reglas de actualización. La regla general es nueva_param = param_actual - tasa_aprendizaje × gradiente. Recalculamos predicciones, errores y gradientes y repetimos muchas veces hasta converger. Así evitamos evaluar millones de combinaciones y vamos directamente hacia el mínimo.

Cálculo del gradiente para regresión lineal. Para el MSE las derivadas se simplifican en fórmulas muy directas: gradient_w = -(2/N) × suma de (error × x) y gradient_b = -(2/N) × suma de (error). Aquí error = y_real - y_predicho. Aplicando estas fórmulas al ejemplo con tres casas y la estimación inicial w=0.5 b=1.0 obtenemos gradient_w ≈ -0.066 y gradient_b ≈ -0.066, lo que indica disminuir w y b para reducir el error en ese punto.

Ejemplo práctico de una actualización. Con una tasa de aprendizaje moderada realizar una actualización puede bajar el MSE de aproximadamente 0.0167 a 0.008 tras un solo paso. Repetir 50 o 200 pasos estabiliza los parámetros en los valores óptimos.

Desglose completo hecho a mano. Si empezamos desde w=0 b=0 todas las predicciones son 0 y los errores son 1.5, 2.2 y 2.9. Calculando las medias necesarias y aplicando la regla de actualización con tasa de aprendizaje 0.1 obtenemos tras un paso w ≈ 0.973 y b ≈ 0.507. La convergencia continúa hasta encontrar la mejor línea.

Solución en una sola fórmula. Para regresión lineal simple existe una solución analítica exacta sin bucles: w = suma[(x - x_media)(y - y_media)] / suma[(x - x_media)²] y b = y_media - w × x_media. Usando nuestros datos x_media=2 y y_media=2.2 calculamos w=0.7 y b=0.8. Esa línea pasa exactamente por los tres puntos del ejemplo.

Intuición de la fórmula cerrada. El numerador mide cuánto se mueven x e y en conjunto, el denominador mide la variación propia de x. La pendiente es la razón entre esas dos cantidades y b se ajusta para que la línea pase por el punto medio de los datos.

Cuándo usar descenso por gradiente y cuándo la solución cerrada. La solución cerrada es perfecta y rápida para modelos lineales pequeños. Sin embargo para modelos con muchas características o millones de parámetros la matriz Xtranspuesta X es enorme y no puede invertirse en memoria. En esos casos y en redes neuronales el descenso por gradiente o sus variantes son la opción práctica y escalable.

Resumen conciso. Regresión lineal consiste en encontrar la línea que minimiza el error cuadrático medio. Puedes hallarla con la fórmula cerrada cuando el problema es pequeño o con descenso por gradiente cuando necesitas escalar o trabajar con modelos complejos.

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Conclusión práctica. La regresión lineal es una herramienta poderosa y sencilla para entender relaciones lineales entre variables. Su entrenamiento puede resolverse con una fórmula cerrada o con descenso por gradiente según el tamaño y la complejidad del problema. Para implementar estos modelos en producción con garantías de rendimiento y seguridad contacta con Q2BSTUDIO y te ayudaremos a diseñar la solución óptima para tu organización.