La única idea detrás de la suma máxima del camino de un árbol binario (LeetCode 124)

Algunos problemas de entrevistas técnicas se sienten rutinarios y luego están los que te obligan a pausar, dibujar ideas, replantear supuestos y sonreír cuando la solución encaja. La suma máxima del camino en un árbol binario es uno de esos problemas: elegante, inicialmente engañoso y revelador de un patrón útil en problemas avanzados con árboles.

En muchos problemas de árboles se pide calcular altura, profundidad o suma total. Aquí la diferencia clave es cómo definimos un camino válido. Un camino puede comenzar en cualquier nodo, puede terminar en cualquier nodo y puede ir desde la rama izquierda hacia la raíz y luego hacia la derecha, pero no puede bifurcarse hacia arriba. Eso significa que a veces la mejor ruta ni siquiera incluye la raíz del árbol.

La idea que desbloquea el problema es sencilla y poderosa. En cada nodo debemos resolver dos preguntas: cuál es el mejor camino que puedo enviar hacia arriba desde este nodo y cuál es el mejor camino que pasa por este nodo usando ambas ramas. El camino que enviamos hacia el padre debe ser unilateral, es decir o nodo mas su mejor rama izquierda o nodo mas su mejor rama derecha. Si una rama produce ganancia negativa, la descartamos como si valiera cero.

Esquema conceptual de la solución: 1) calcular recursivamente la ganancia máxima de la subrama izquierda y derecha, reemplazando valores negativos por cero; 2) la mejor suma que pasa por el nodo es ganancia_izquierda + valor_nodo + ganancia_derecha; actualizar el máximo global con ese valor; 3) devolver hacia arriba valor_nodo + max(ganancia_izquierda, ganancia_derecha). Esa devolución nunca debe incluir las dos ramas a la vez, porque el camino que sube hacia el padre solo puede elegir una dirección.

Ejemplos ilustrativos: un nodo con hijos 2 y 3 produce una suma local de 2 + 1 + 3; si existen valores negativos, por ejemplo raíz -10 con subárbol 20 que a su vez tiene 15 y 7, la mejor suma puede estar totalmente dentro del subárbol positivo y ser 15 + 20 + 7, aun cuando la raíz sea negativa. Con todos valores negativos, la solución correcta es el valor máximo entre los nodos, que la lógica anterior también consigue al permitir que las ganancias negativas se consideren como cero excepto por el propio valor del nodo cuando corresponde.

Complejidad: cada nodo se visita una vez, por lo que el tiempo es O(n). El uso de pila recursiva puede alcanzar la altura del árbol, por lo que el espacio adicional es O(h) donde h es la altura del árbol.

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En resumen, la suma máxima del camino en un árbol binario enseña una única idea central: calcular para cada nodo la mejor contribución unilateral hacia arriba mientras se considera la posibilidad bilateral local para actualizar el resultado global. Dominar esta noción facilita resolver problemas más complejos y construir software robusto, ya sea en proyectos de inteligencia artificial, integración cloud o aplicaciones empresariales a medida.